\section{Introducción Teórica}

En esta sección presentaremos un marco teórico que nos permitirá entender las técnicas y los conceptos utilizados a lo largo de este trabajo.

\subsection{Sistemas de equaciones lieneales}

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

\[\begin{bmatrix}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{1}&\cdots & + a_{1n}x_{1} = b_{1} \\
a_{21}x_{2} + a_{22}x_{2}&\cdots & + a_{2n}x_{2} = b_{2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1}x_{n} + a_{m2}x_{n}&\cdots & + a_{mn}x_{n} = b_{mn} \\
\end{bmatrix}\]

Donde $x_{1}$,\dots,$x_{n}$, son las incógnitas y los números $a_{ij}$ $\in K$ son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo K =[R, C, \dots]. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{1}&\cdots & + a_{1n}x_{1} \\
a_{21}x_{2} + a_{22}x_{2}&\cdots & + a_{2n}x_{2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1}x_{n} + a_{m2}x_{n}&\cdots & + a_{mn}x_{n} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots\\
x_n 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_n
\end{bmatrix}
\end{equation*}

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
\begin{center}
    Ax = b
\end{center}
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.


\subsection{Tipos de sistemas}

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
\begin{itemize}
\item Sistema incompatible: si no tiene solución.
\item Sistema compatible: si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
\begin{itemize}        
\item Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
\item Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
\end{itemize}
\end{itemize}

En este trabajo los sistemas con los que contarémos serán compatibles determinados, con lo cual tendrán solución única y podremos encontrarla mediante su resolución mediante el método de Gauss-Jordan.
Para mas información sobre el método de Gauss-Jordan \footnote{Ver sección Bibliografía [1]}


\subsection{Resolución de sistemas}

Para resolver un sistema de los antes mencionados una forma es conseguirnos un \textbf{sistema equivalente} al original, donde la matriz que lo representa se encuentre triangulada y por ende resulte mas simple hallar el valor de las incognitas.\\
Un sistema equivalente es un sistema que tiene las mismas soluciones que el sistema original.\\
Uno de los métodos clasicos para triangular una matriz y conseguirnos un sistema equivalente mas simple para resolver las incognitas es el método de Gauss-Jordan.


	
	Dado el siguiente sistema:
\begin{displaymath}
  (A\, |\, b)= \left(
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\
\end{matrix} \left| 
\begin{matrix} 
\,b_1 \\
\,b_2 \\
\,\vdots \\
\,b_n \\
\end{matrix} \right. \right)
\end{displaymath}

Generamos un sistema equivalente que sea triangular superior.
\begin{displaymath}
  (A'\, |\, b')= \left(
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
 & a'_{22} & \dots & a'_{2n} \\
 &  & \ddots &\vdots \\
 &  &  & a'_{nn} \\
\end{matrix} \left| 
\begin{matrix} 
\,b_1 \\
\,b'_2 \\
\,\vdots \\
\,b'_n \\
\end{matrix} \right. \right)
\end{displaymath}


El sistema as\'i planteado puede resolverse haciendo sustituci\'on hacia atr\'as. Resolviendo la n\-\'esima ecuaci\'on para $x_{n}$ se obtiene:

$$ x_{n} = \frac{b'_{n}}{a'_{n,n}} $$

Y el resto de los valores se obtienen mediante la f\'ormula:

$$ x_{k} = b'_{k} - \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{i < k} a'_{ki} x_{i} $$

\subsubsection{Inestabilidad num\'erica al usar el algoritmo de Gauss}

Al implementar el algoritmo de Gauss en una computadora se tiene la desventaja de que, al contar con aritm\'etica finita, se pueden obtener errores de redondeo en los c\'alculos si el valor $a^{(k)}_{kk}$ es muy peque\~no (debido a que en la representaci\'on interna de los n\'umeros hay m\'as densidad en los n\'umeros chicos), para manejar estos errores se utilizan las llamadas \emph{estrategias de pivoteo}.

\subsection{Armado de sistema equivalente con  eliminación de Gauss-Jordan }
 Como antes mencionamos, el método más conocido (y, en muchos casos, el más popular) para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales es el
método de eliminación de Gauss. La idea básica de este método consiste en manipular las ecuaciones por medio de operaciones elementales para tranformar el sistema original en un sistema equivalente que sea más sencillo de resolver.Las
operaciones elementales en la eliminación de Gauss son tres:
 
\begin{itemize}
\item Multiplicación de una ecuación por una constante no cero.
\item Sustracción del múltiplo de una ecuación de otra ecuación.
\item Intercambio de ecuaciones.
\end{itemize}

Si alguna de estas operaciones se aplican a algún sistema de ecuaciones el sistema obtenido será
equivalente al original. Lo mismo sucede cuando se realiza una cadena de estas operaciones. Nuestro objetivo es resolver el sistema
$Ax =b ,$ donde $A = (a_{ij}), 1 \leq i, j \leq n ; b = (b_1,b_2,b_3\ldots, b_n)^T$.\\

\subsection{Matriz traspuesta}

Sea A una matriz con m filas y n columnas. La matriz transpuesta, denotada con A$^t$ está dada por:
\begin{center}
	$A^t_{ij}$ = $A_{ji}$, $\forall{i}$ $\in [1,n]$
\end{center}
En donde el elemento $a_{ji}$ de la matriz original A se convertirá en el elemento $a_{ij}$ de la matriz transpuesta A$^t$.


\subsection{Multiplicación entre matrices}

Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B, es decir:
\begin{center}
    A= $(a_{ij})_{mxn}$ y B=$(b_{ij})_{nxp}$
\end{center}
la multiplicación de A por B, que se denota AB,  el resultado del producto es una nueva matriz C:
\begin{center}
    C = AB =$(c_{ij})_{m x p}$
\end{center}
donde cada elemento $c_{ij}$ está definido por:
\begin{center}
    $c_{ij}$ = $\sum_{r=1}^n a_{ir} b_{rj}$
\end{center}
es decir:

\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{1}&\cdots & + a_{1n}x_{1} \\
a_{21}x_{2} + a_{22}x_{2}&\cdots & + a_{2n}x_{2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1}x_{n} + a_{m2}x_{n}&\cdots & + a_{mn}x_{n} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_{11}x_{1} + b_{12}x_{1}&\cdots & + b_{1p}x_{1} \\
b_{21}x_{2} + b_{22}x_{2}&\cdots & + b_{2p}x_{2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b_{n1}x_{n} + b_{n2}x_{p}&\cdots & + b_{np}x_{p} \\
\end{bmatrix}
=\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
a_{11}b_{11} + &\cdots & + a_{1n}b_{n1} + &\cdots & +a_{11}b_{1p} + &\cdots &  + a_{1n}b_{np} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1}b_{11} + &\cdots & + a_{mn}b_{n1} + &\cdots & +a_{m1}b_{1p} + &\cdots &  + a_{mn}b_{np} \\
\end{bmatrix}
\end{equation*}
  


